2022考研数学二真题，2022考研数学二真题及答案解析
突破最难最值——2022年徐州市中考数学第28题
压轴题中的最值类问题，较为普遍地出现在全国各地中考试题里，解决这一类问题，基本上两条路径：一是几何角度，二是函数角度，前者需要的预备知识包括但不限于“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、点与圆的位置关系等，后者主要是用到二次函数顶点式、完全平方公式等。
2022年徐州中考数学压轴题，延续了2021年、2019年的难度，不太好想，对于学生理解这类问题提出了较高要求。
题目
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE，过点E作BC的垂线，与BC、AC分别相交于F、G两点，连接DG，交PC于点H.
(1)∠EDC的度数为__________°；
(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系和数量关系？请说明理由；
(4)求CH:CE的最大值.
解析：
(1)△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°，由D、E分别为BC、PC的中点，可以得到DE是△BCP的中位线，于是DE∥BP，∠EDC=∠B=45°；
(2)源动点是P点，于是设AP=x，将AG用含x的代数式表示，再求面积最值，这是基本思路；
由FG⊥BC，可得另外两个等腰直角三角形，分别是△DEF和△CFG，注意它们的边长间数量关系，斜边是直角边的√2倍；
BP=12-x，由中位线定理可DE=6-1/2x，得DF=3√2-√2/4x，求出CF=3√2+√2/4x，于是CG=6+1/2x，最后得到AG=6-1/2x；
然后用含x的代数式表示△APG的面积为S=-1/4(x-6)²+9，所以最大面积为9；
(3)方法一：由于点E为PC中点，所以PE=CE，现在观察CE和DG，它们分别位于△CEF和△GDF中，我们来证明它们全等：由等腰Rt△CFG得CF=GF，由等腰Rt△DEF得到EF=DF，再加上两个直角，因此△CEF≌△GDF，于是CE=DG，最后得到PE=DG，数量关系得已证明，然后找它们的位置关系，依然由这一对全等三角形，∠ECF=∠DGF，而∠ECF+∠CEF=90°，且∠CEF=∠GEH，于是∠DGF+∠GEH=90°，即∠GHE=90°，于是PE⊥DG；
方法二：连接AD，可得它是△ABC中的“三线合一”，再取BP中点K，如下图：
我们在前一小题中得到了BK=AG=6-1/2x，再加上BD=AD，∠B=∠DAG=45°，可证明△BDK≌△ADG，于是DK=DG，再由中位线得到DK=PE，于是PE=DG，这一对全等三角形还可得到∠BDK=∠ADG，而∠BDK+∠ADK=90°，于是∠ADG+∠ADK=90°，即∠KDG=90°，于是DG⊥DK，而DK∥PE，所以DG⊥PE；
(4)作为本题难点，我们首先从代数角度来思考：
CH:CE比值中，线段CE是线段CP的一半，不妨设CH:CE=k，则CH:CP=k/2，图中可以发现△CGH∽△CPA，得比例线段为CH:CA=CG:CP，其中CG=6+1/2x，CA=12，可得CH=(72+6x)/CP，代入CH:CP=k/2中，推导如下：
基本上，面对这么个分式，求最值完全没有头绪，下面我们来寻找突破：
分子可以写成12(x+12)，分母似乎是(x+12)²，但缺少一次项，我们补上，分母可变形为(x+12)²-24x，推导如下：
在上述求最值的过程中，我们用到了完全平方公式(a-b)²≥0，展开后得a²+b²≥2ab，特别是当a与b互为倒数时，这个不等式更特别；
然后我们从几何角度思考：
点P是动点，点E、H在线段CP上随之运动，在整个运动过程中，我们已经知道了PE与DG间的位置关系，即∠DHC=90°始终成立，考虑到CD是定长，所以容易想到点H的运动路径是以CD为直径的半圆上，然后我们用最直接的方法——作平行线来构造线段比CH:CE，过点H作HM∥DE，如下图：
CH:CE=CM:CD，注意CD为定长6√2，所以这个比值大小取决于线段CM，这样将线段比值最值问题转化为线段最值问题了，我们可以利用点H所在的圆来解决；
取CD中点O，连接OH并延长交AB于点N，如下图：
我们又得到一组比例线段，OM:OB=OH:ON，可得OM=OB×OH/ON，其中OB=9√2，OH=3√2，则OM=54/ON，当ON最短时，OM取最大值，对于线段ON，端点O为定点，端点N在AB上，根据“垂线段最短”可知当ON⊥AB时，ON最短，此时可求得ON=9，则可求得OM=6，CM=6+3√2，现在可以求这个最大比值了，CH:CE=CM:CD=(6+3√2)/6√2=(√2+1)/2；
解题反思：
本题的前三个小题均可视为最后一小题的阶梯，所以前面探讨出来的结论，有一部分是可以继续使用的，最难想到的最值求解，用代数法和几何法均不容易，这不禁令人回忆起在最初滓完全平方公式的时候，对于(a-b)²≥0有没有继续深究下去，当然未必在学习新课时进行，这显然超过课标要求范围，但是在章节复习或阶段复习时，作为拓展延伸是可行的。
用几何法求最值时，我们最常用的两个定理是“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，要牢记这两个定理使用的基础条件，前者的两个点，是两个定点，当其中一个点在运动时，显然定理并不好使，而后者也需要一个定点和定直线，所以我们发现点N在AB上，且点O为一点时，使用垂线段最短是突破口，而其中圆的作用则是进行等量转换。
由此反思我们的课堂教学，对于每一个概念、定理的挖掘要足够，由于课堂容量限制，不太可能将每一处发散都照顾到，但要留有余地，或者说未来新知识的接口，通过课堂上设置情景问题，将这些基础知识融汇贯通，正是教学设计的精妙之处。
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2022考研数学二参考(2022考研数学二参考及答案解析)
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