2015年考研数学二难度()




2015年考研数学二难度,

大家好!本文和大家分享一下这道2015年四川高考理科数学的压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数的单调性、导数与函数的极值、导数与函数的零点等知识。这道题第二小问的难度非常大,但大胆猜测小心求证找到突破口是解题的关键。

先看第一小问:讨论g(x)的单调性。

讨论复杂函数的单调性,我们通常借助导数来展开。即先对需要讨论的函数求导,然后判断导数值的正负,再根据导数为正是增函数,导数为负是减函数的判断标准即可得到原函数的单调性。

不过,在讨论函数单调性时,很多同学容易犯一个错误,那就是忽略了原函数的定义域,从而导致单调区间变大。

回到题目。通过f(x)的解析式可知,f(x)的定义域为(0,+∞)。对f(x)求导,得到g(x)=f'(x)=2x-2a-2lnx-2(1+a/x),所以g'(x)=22/x-2a/x^2。

接下来就需要讨论g'(x)的正负。先将g'(x)通分,然后对分子进行配方。从而得到g'(x)=[2(xc1/2)^2+2(a-1/4)]/x^2。显然,g'(x)的正负只与分子有关,而与分母无关。

由于2(x-1/2)^2≥0,所以当a≥1/4时,g'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即此时g(x)为增函数。当0<a<1/4时,a-1/4<0,令g'(x)=0,解得x=[1±√(1-4a)]/2。当[1-√(1-4a)]/2<x<[1+√(1-4a)]/2时,g'(x)<0,此时g(x)为减函数;当0<x<[1-√(1-4a)]/2或x>[1+√(1-4a)]/2时,g'(x)>0,此时g(x)为增函数。

再看第二小问:证明。

这一问的难度非常大,但是f(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立,那么只需要f(x)在区间(1,+∞)上的最小值为0即可。而这个区间是一个开区间,所以最小值也就是极小值,从而转化为函数的极值问题。在高中阶段,看到函数的极值,就应该想到极值点处的导数值为零,从而就可以利用这一点将a表示出来,然后再将a代入f(x),构成一个新的函数。接下来研究这个新函数,就可以证明题干的结论。

这道题的第二小问的难度确实比较大,但是作为压轴题,也并不是要求所有人都能做出来。不过,一般学生还是需要将第一小问做出来,毕竟第一小问的难度并不大。

发布于:江西省

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